100个红绿球，让2万人团体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网评论

100个红绿球，让2万人团体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网评论

这道100个红绿球的「罐中谜题」，两万多人中仅有20%能答对？这位数学家为咱们提醒了，为何概率推理谜题如此反直觉的原因。现在，这些现已掀起全网大评论，它们绝不只是是脑筋急转弯，乃至还催生出了数篇学术论文！

一道看似简略的概率谜题，居然让80%的人都做错了？

这道题如下——

你有一个装有100个球的罐子，罐子看不到里边，其间有n个红球，「100-n」个绿球。n为「0,100」之间的一个随机数。你伸手进入罐子并取出一个球，它是赤色的，把它丢掉后，假如你现在再取出一个球，它更有或许是赤色仍是绿色？或许两种色彩的或许性是持平的？100个红绿球，让2万人团体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网评论！

现在，现已有两万多人对这道题进行了投票，可是，只要22%的人做对了。

你的答案是什么？请等候后文发布正确答案。

本年1月份，当数学家Daniel Litt在网上宣布这道题后，引爆了许多数学家、核算机科学家和经济学家的解题热心！

有研讨者宣称，自己如此沉迷于这道题，以至于正派研讨都无心去做了

乃至，还有一些哲学家、金融家、体育剖析师参加了进来。

乃至，这道谜题还催生了一系列相关论文，来评论谜题背面的数学意义！

论文地址：https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/MihaiNicaAliceBob.pdf

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.16660

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2406.20049

能够说，这道在线谜题真实凸显了脑筋急转弯关于群众的耐久招引力。

并且，它还展现出了咱们数学直觉的局限性，以及概率推理的反直觉性。

Litt表明，没有什么比出一道多项挑选题更令人振奋的了，并且50000人的成果乃至比随机挑选的还要差

这道题，终究为什么如此反直觉？为什么简略的概率问题，会如此出其不意地困难？

让咱们细心评论一下，是什么造就了一个巨大的谜题。

选中红球，下一个球是什么？

话说回来，在这道罐子谜题中，你的答案是什么？

下面发布正确答案——赤色。

怎么样，确实十分反直觉吧。

为什么答案不是绿色，或二者概率持平呢？

Litt表明，这位来自伦敦的数学研讨者George Lowther的解说，给出了自己最为喜爱的考虑办法——

幻想一下，一开始有101个球排成一行，而非100个球，再随机挑选一个球。

然后，把它左面的球涂成绿色，右边的球涂成赤色，再把手里的球丢掉，便剩余100个球。

然后，随机挑选第二个球，这个球对应原问题中的第一个球。问题告知你，你选了一个红球，所以它在你丢掉的球的右边。

现在挑选第三个球，这个球有三种或许的方位：

1）在第一个球的左面

2）在第一个球和第二个球之间

3）在第二个球的右边

在这三种或许性中，有两种情况下，第三个选中的球是赤色的。所以球是赤色的概率是2/3。

另一位统计学博士Jonatan Pallesen提出了一个很好的启发性解说：

假如你去垂钓，并很快钓到一条鱼，便会希望湖里有更多的鱼。相同，假如你现已拿到一个红球，这表明罐子里有许多红球。

「反直觉圈套」，为何如此有迷惑性

不过，这一问题恰恰反映出了一个反直觉的圈套。

按理说，假如拿出了一个红球，那么瓮中红球的数量就削减了，所以下一个球就更有或许是绿色的。

许多人都是这么想的，但是，这是一个过错的直觉！

许多人坚持以为，因为红球数量削减，所以下一个球更有或许是绿色的。

Litt对此表明，「他们不愿意承受数学证明，但对模仿成果更具服气力」。

其实，这是一个随机挑选的概率，但从中取得的信息，会影响咱们对后续事情概率的判别。

一些参加者惊奇道，如此清楚明了的答案，竟有许多人没有发现。

我确实感到惊奇的是，咱们在这类问题上体现得如此糟糕，因为概率与实际国际的活动有着如此显着的相关性。咱们有必要不断地调查国际并评价或许性，然后决议举动计划。

或许这个问题确实关于一些专业人士来说，确实垂手可得。但多数人仍是会掉入圈套，为什么对他们来说，这道题会如此困难？

Litt以为，要害点在于初始设置中的概率散布。

也就是说，罐子问题是彻底依赖于，红球数量是依据所谓的均匀散布（即从瓮中抽取）来挑选的。

当抽出的是一个红球，告知你的信息是，自己处于一个「赤色的国际」中，但也只是因为Litt这样设置的问题。

但若是，依据二项散布来挑选球的色彩——即经过抛硬币来挑选每个球的色彩。

那么，即使你知道了第一个球是赤色的，但对下一个球来说，没有什么意义，从而不会影响后续抽取概率。

修正开始散布十分简略，这样就能取得赤色、绿色、或或许性同等的三种答案中的一种。

假如调整散布，就会彻底改动答案，因而，一个人的直觉有必要对问题的设置十分灵敏，这才是处理此类问题的要害。

对此，Litt规划了一系列罐子问题，每一个都是为了打败某人为之前某个变体提出的启发性解说而规划的。

所以说，很难想出能够检测到这些细节的启发性办法。

其实，在实际国际中，咱们在概率核算上，并非那么拿手。

但在生活中，有些活动却与概率问题休戚相关。咱们经过不断调查国际，评价概率，然后再做出举动计划。

Litt称，尽管我不是心理学专家，但人们在考虑问题各个方面，都会变现出躲避危险，由此会体系地高估了/轻视了极不或许发生事情的概率。

在线谜题，万人参战

一直以来，Litt专心于研讨代数几许和数论交集的范畴，而在概率论方面，他还只是业余爱好者。

曩昔，他参加了一些有关概率的讲座，并激宣布极大的爱好，摩拳擦掌。

Litt表明，「尽管概率论与日常的数学考虑内容，相去甚远，但也触及到了自己一些相对了解的东西」。

空闲时分，他会提出一些简略的概率问题。

当自己发现得到了一个很帅、且反直觉的答案时，便会将谜题发在X上，让咱们一同破解。

人们喜爱在交际媒体上吐槽，Litt的谜题下面，也逐步成为咱们评论的社区，构建起一个概率圈的生态体系。

之所以在X上评论数学，是因为2020年疫情期间，Litt感到十分孤单，便发现在交际媒体中，与随机的人聊自己喜爱的主题能够取得高兴。

在Litt看来，即使是抛硬币这种最根本的概率事情，也会发生风趣的问题。

就比方，前段时刻，他发布的有关掷硬币的一个谜题，便招引了2万多人参加评论。

还有另一个改版的同类谜题，更是得到近5万位网友的投票。

下一个谜题：抛硬币

下面这道抛硬币难题，被Litt称为自己最喜爱的谜题。

并且，仅有10%的参加者答对了，份额低到惊人！

Alice和Bob各抛硬币100次（正面是H，不和是T）。每逢接连呈现两个正面HH时，Alice得1分；呈现正不和HT时，Bob得1分。因而，现在，二人现已得到了「THHHT」，因而Alice得2分，Bob得1分，最终谁更有或许取胜？

有人对此推理的是，假如列出100次抛硬币的一切不同成果，并核算出Alice和Bob的分数。他以为每个人总分相同。

因而，他们预期的答案是二者相同。

但事实证明，Bob取胜的或许性更大！这是为什么？

明显，人们的直觉又在作怪了。

一个直觉是，Alice能够在短时刻内得许多分。例如，在接连呈现正面HHHHHHH情况下，她在第一次之后的每次投掷中都得分。

在100次投掷中，Alice的分数能够高达99，但Bob最多只能得50分。

所以Alice会以压倒性的优势取胜，这意味着她在游戏中浪费了一些希望得分。

相较之下，Bob或许会赢得更多竞赛，但每次取胜优势较小。经过模仿验证，能够证明这个成果是正确的。

不确认的是，假如改动游戏规则的话，这个启发性的办法是否建立。

并且，Litt表明，我不知道是否存在一个证明，能够彻底解说这种现象，特别是一个适用于恣意次数翻转的证明。

概率论家、数学博士发论文

关于自己所出的概率题，Litt也做了一个证明，但仅是一个杂乱，且缺少理论的证明。

而真实让他振奋的是，这些谜题在一大波专业人士中，掀起了热议。

一位数学博士Sridhar Ramesh收集了一些美丽的证明。

他将抛硬币问题比作成一个「随机行走」的问题，其间向上和向下的过程概率持平，但速度散布不同。

从中能够取得的要害调查是，回来原点所需的时刻，与第一步向上仍是向下无关。

因为反向履行相同的过程，也有相同的概率。

由此，能够得出，关于任何固定的行走时刻，最终一步脱离原点的方向（向上或向下）的概率是持平的。

那么，再将这个调查应用到硬币游戏中：

-HH相当于一个单位时刻的「向上」过程

- HT^n H相当于n+1个单位时刻的向下过程

这意味着，游戏完毕时，咱们相同或许在原点之上（Alice赢，或许存在一个或许让游戏平局HT^n H的中心过程），或原点之下（Bob赢）。

假如游戏由HHT，后边满是T组成，有或许会平局。

因为或许在HT^n H过程的中心完毕，（在给Bob一个使游戏平局的分数后，但在回来到H之前），而不或许在HH的中心完毕，所以Alice取胜的或许性比Bob小。

Litt还表明，有一大类问题是从开始抛硬币问题中衍生出来的。

关于这些问题，许多人提出了不错的证明，但他个人依然觉得，无法完成直观的了解。至少从业余观念来看，其间有许多令人惊奇的风趣的数学。

还有一位来自罗格斯大学教授Doron Zeilberger，在这些问题中发现了有价值的内容，并宣布了论文。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.13561

论文中，Zeilberger编写了一个软件包，用于剖析这类概率问题的长时间行为。

比方，他的程序能够证明在n次投掷后（当n十分大时），平局的概率大约是1/√n乘以某个清晰的常数。

他还核算了一些称为「矩」的量。

当你检查Alice和Bob的得分之间的一切或许差异，这些差异的平均值为0，这也是使其成为一个难题的部分原因。

但你也能够核算「二阶矩」，即对差异的平方求平均值，以及「三阶矩」，即对差异的立方求平均值等等。

Zeilberger和数学家Mihai Nica提出了一个猜测，即只是知道二阶和三阶矩，就足以确认谁赢得更多的竞赛。

不过，Litt以为，这一点没有彻底证明。

而现在，又有后继者，另一位数学家Svante Janson以及Nica正在编撰一个证明。

答案&一道新题

以下三道题，答案会在后边发布。

第一题：Equally likely

第二题：HTTTH

第三题：Bob

就在刚刚，Litt又发布了一个改版的罐子问题，你以为答案会是哪个？

个人介绍

Daniel Litt现在是多伦多大学数学助理教授。2019-2022年，他也曾在佐治亚大学担任助理教授。

2015年，他取得了斯坦福大学博士学位。2018年在哥伦比亚大学担任NSF博士后。别的，2018-2019年，他仍是高档研讨所的成员。

总的来说，Litt对代数几许和数论之间的相互作用感爱好，对拓扑学也有必定的爱好。

他的大部分作业都会集在，运用算术技巧来研讨比方杂乱代数簇的经典问题。

现在，他的研讨重点是，代数簇根本群上的算术结构，以及这些结构和簇的几许之间的联系。

此外，他自己其他感爱好方向包含，关于正性和消失性定理的问题，代数簇的动力学，以及霍奇理论（广义了解）。

现在，他得到了NSERC的赞助项目——算术和代数几许中的Anabelian办法，还曾是斯隆的研讨奖学金取得者，以及安大略省的前期研讨人员。100个红绿球，让2万人团体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网评论！